Question

求证：存在无穷多对正整数（a，b）满足ab|a⁸+b⁴+1．

Answer 1

考点：整除的基本性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用整除的性质，结合互质数，推出满足题意的解，类推出结果即可．

解答： 解：ab|a⁸+b⁴+1等价于ab|（a⁸+1）（b⁴+1）
注意到a与a⁸+1，b与b⁴+1互质，因此ab|（a⁸+1）（b⁴+1）又等价于a|b⁴+1且b|a⁸+1，
假设（a，b）是一个解，显然a≠b
如果a＜b，设aa'=b⁴+1，则b⁴＜b⁴+1=aa'＜ba'得到a'＞b³≥b．注意到b|（a⁸+1）a'⁸且b|（aa'）⁸-1，因此b|a'⁸+1，即（a'，b）也是一个解．a'+b＞a+b．
如果a＞b，设bb'=b⁸+1，类似上面的方法可以得到（a，b'）也是一个解且a+b'＞a+b．
显然（2，1）是一个解．按上面的方法递推可得无穷多个解．
∴存在无穷多对正整数（a，b）满足ab|a⁸+b⁴+1．

点评：本题考查整除的性质的应用，互质数的应用，考查转化思想．