Question

如图，已知△ASD中，SD=3，CD=

5

，cos∠SDC=-

1

5

5

，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M为SB上点，且SM=2MB，将△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱锥S-CDM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题

分析：（Ⅰ）过C作CO⊥SD交SD的延长线于O，在BC上取点N使BN：NC=1：2，连接MN，证明AM∥平面SCD，只需证明平面AMN∥平面SCD；
（Ⅱ）由AM∥平面SCD知M到平面SCD的距离等于A到平面SCD的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥S-CDM的体积．

解答： （Ⅰ）证明：如图：过C作CO⊥SD交SD的延长线于O，在BC上取点N使BN：NC=1：2，连接MN，
由于SM：MB=2：1，∴MN∥BC，
在平面SCD中，由CD=

5

，cos∠SDC=-

1

5

5

，得DO=1，CO=2，
即SA=AO，
又AB⊥SD得SB=BC，
又SM：MB=2：1，BN：NC=1：2，∴AN∥CD
∴平面AMN∥平面SCD，
∴AM∥平面SCD；

（Ⅱ）解：由AM∥平面SCD知M到平面SCD的距离等于A到平面SCD的距离，
∵cos∠SDC=-

1

5

5

，
∴sin∠SDC=

2 5

5

，
∵AD=1，CD=

5

∴S_△ADC=

1

2

•1•

5

•

2 5

5

=1，
∴V_S-CDM=V_M-SCD=V_A-SCD=V_S-ACD=

1

3

•1•2=

2

3

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，正确运用线面平行的判定定理是关键．