Question

设f（x）=

ex

1+ax2

，其中a为正实数．
（Ⅰ）当a=

4

3

时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可，（Ⅱ）引进新函数g（x），结合二次函数的图象及性质从而求出a的范围．

解答： 解：f′（x）=

ex(ax2-2ax+1)

(1+ax2)2

，
（Ⅰ）a=

4

3

时，f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)•ex

(1+ 4 3 x2)2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

3

2

，x＜

1

2

，
令f′（x）＜0，解得：

1

2

＜x＜

3

2

，
∴f（x）在（-∞，

1

2

），（

3

2

，+∞）递增，在（

1

2

，

3

2

）递减，
（Ⅱ）∵f′（x）=

ex(ax2-2ax+1)

(1+ax2)2

，
令g（x）=ax²-2ax+1，
若f（x）为R上的单调函数，
需g（x）＞0，或g（x）＜0，
①a＞0时，
需△=4a（a-1）＜0，
解得：0＜a＜1，
②a＜0时，
需△=4a（a-1）＜0，无解，
∴a的范围是（0，1）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道综合题．