Question

若x∈[-π，π]，为使方程sinx-

3

cosx=q．
（1）有解；
（2）有两个不同的解；
（3）仅有一解；
请分别求q的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得q=2sin（x-

π

3

），当x∈[-π，π]时，x-

π

3

∈[-

4π

3

，

2π

3

]，利用正弦函数的性质可求得（1）（2）（3）情况下的q的值．

解答： 解：∵q=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

），
∴当x∈[-π，π]时，x-

π

3

∈[-

4π

3

，

2π

3

]，
∴2sin（x-

π

3

）∈[-2，2]，

∴（1）q∈[-2，2]时，有解；
（2）当q∈（-2，

3

）∪（

3

，2）时，有两个不同的解；
（3）当q=-2或q=2时仅有一解．

点评：本题考查三角恒等变换与两角和与差的正弦函数，熟练掌握正弦函数的图象与性质是关键，属于中档题．