Question

设M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点，若△PQM是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由圆M与x轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=

b2

a

或y=-

b2

a

，所以圆的半径为

b2

a

，利用△PQM是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率．

解答： 解：∵圆M与X轴相切于焦点F，
∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于x轴）
M在椭圆上，则y=

b2

a

或y=-

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圆的半径为

b2

a

，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴

2

2

×

b2

a

=c，
∴b²=

2

ac，
∴a²-c²=

2

ac，
∴e²+

2

e-1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=

6 - 2

2

．
故答案为：e=

6 - 2

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求解，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．