Question

已知函数，。

（Ⅰ）求在区间的最小值；
（Ⅱ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；

（Ⅲ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立。

Answer 1

解(Ⅰ): ………………………………………………1分

①若

∵，则，∴，即。

∴在区间是增函数，故在区间的最小值是。……3分

②若

令，得.

又当时，；当时，，

∴在区间的最小值是………………………………5分

综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是。………………………………………………………………6分（Ⅱ）证明:当时，，则，

……………………………………………………………………………………………7分

∴,

当时，有，∴在内是增函数，

∴，

∴在内是增函数，

∴对于任意的，恒成立。…………………………………10分

(Ⅲ)证明:

,

令

则当时,≥

　　　　　　 ,……………………………………………………12分

令,则,

当时, ；当时，；当时，，

则在是减函数，在是增函数，

∴，∴，

∴，即不等式≥对于任意的恒成立。………………………15分