Question

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=

21

3

的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据题意，双曲线的离心率e=

21

3

，由双曲线的性质，可得

b2

a2

=

12

9

，进而可将双曲线方程为

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；将P的坐标代入，可得λ的值，进而可得答案；
（2）首先根据P、A₁、A₂的坐标得到三角形重心G的坐标，再假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设出M、N的坐标，分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则l的方程可以设为y=m（x-2）+2，与双曲线方程联立消去y，可得关于x的一元二次方程，用△判断其根的情况可得答案．

解答：解：（1）根据题意，双曲线的离心率e=

21

3

，
则

c2

a2

=

21

9

，可得

b2

a2

=

12

9

；
设双曲线方程为

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
则a²=9，b²=12．
所以所求双曲线方程为

x2

9

-

y2

12

=1；

（2）P、A₁、A₂的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，
与双曲线方程联立消去y，
整理得x²-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直线l不存在．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，计算量比较大，解题时，充分利用题干的条件，简化方程，可以降低运算量，提高准确率．