Question

3．若集合A={x|x²+ax+b=0}，B={x|x²+cx+6=0}，问是否存在实数a，b，c使A∪B=B且A∩B={2}，如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 由A∩B={2}，把x=2代入x²+cx+6=0求得c值，进一步求得B，结合A∪B=B，分A为单元素集合与双元素集合求解得答案．

解答 解：若存在实数a，b，c使A∩B={2}，则2∈B，
∴2²+2c+6=0，解得c=-5，则B={x|x²-5x+6=0}={2，3}，
又∵A∪B=B，∴A⊆B，
当A为单元素集合时，有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4b=0}\\{2a+b+4=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=4；
当A={2，3}时，由$\left\{\begin{array}{l}{2+3=-a}\\{2×3=b}\end{array}\right.$，解得a=-5，b=6．
综上，存在实数a=-4，b=4，c=-5或a=-5，b=6，c=-5满足题意．

点评 本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分类讨论的思想方法，是中档题．