Question

【题目】已知，函数.

（1）记，求的最小值；

（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) g(a)的最小值为g(1)＝0．

(2) 0＜a＜1．

【解析】分析：（1）先求出，再求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得的最小值；（2）,因为有三个不同的零点，所以至少有三个单调区间，而方程至多有两个不同正根，所以，有解得，，然后再证明在内各有一个零点，可得的范围是．

详解：（1）g(a)＝lna2＋－2＝2(lna＋－1)，

g(a)＝2(－)＝，

所以0＜a＜1时，g(a)＜0，g(a)单调递减；

a＞1时，g(a)＞0，g(a)单调递增，

所以g(a)的最小值为g(1)＝0．

（2）f(x)＝－＝，x＞0．

因为y＝f(x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，

而方程x2＋(2a2－4a)x＋a4＝0至多有两个不同正根，

所以，有解得，0＜a＜1．

由（1）得，当x≠1时，g(x)＞0，即lnx＋－1＞0，

所以lnx＞－，则x＞e－ (x＞0)，

令x＝，得＞e－．

因为f(e－)＜－＋－2＝－＜0，f(a2)＞0，

f(1)＝－2＝＜0，f(e2)＝＞0，

所以y＝f(x)在(e－，a2)，(a2，1)，(1，e2)内各有一个零点，

故所求a的范围是0＜a＜1．