Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若，任取存在实数使恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】分析：第一问首先将代入函数解析式，之后应用求导公式求得其导数，将代入，求得其函数值和导函数值，之后应用点斜式将切线方程写出，在化为一般式即可；第二问对函数求导，对导数等于零的根的大小进行比较，分类讨论求得其单调区间；第三问从函数解析式可以发现，为函数的两个零点，之后将问题转化为最值来处理即可求得结果.

详解：（1） 由已知

切线斜率，

切线方程 即

（2）令， 即

当时，在R上为增函数

当时， ，在上为增函数，在上为减函数

当时， ，在上为增函数，在上为减函数

（3） 时，，，，由（2）可知在内有最小值，要使恒成立，大于等于最大值即 的取值范围是.