Question

如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M、N分别是A₁B₁、AB的中点.

（1）求证：C₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：A₁B⊥AM；
（3）求证：平面AMC₁∥平面NB₁C；
（4）求A₁B与B₁C所成的角.

Answer 1

证明略，（4）A₁B与B₁C所成的角为90°

（1） 方法一 由直棱柱性质可得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

又∵C₁M平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥MC₁.
又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁中点，∴C₁M⊥A₁B₁.
又A₁B₁∩A₁A=A₁，∴C₁M⊥平面AA₁B₁B.
方法二  由直棱柱性质得：平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，交线为A₁B₁，又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥A₁B₁于M.
由面面垂直的性质定理可得C₁M⊥平面AA₁B₁B.
（2） 由（1）知C₁M⊥平面A₁ABB₁，
∴C₁A在侧面AA₁B₁B上的射影为MA.
∵AC₁⊥A₁B，MC₁⊥A₁B，MC₁∩AC₁=C₁，
∴A₁B⊥平面AMC₁，又AM平面AMC₁，∴A₁B⊥AM.
（3）方法一  由棱柱性质知四边形AA₁B₁B是矩形，
M、N分别是A₁B₁、AB的中点，
∴ANB₁M.
∴四边形AMB₁N是平行四边形.
∴AM∥B₁N.
连接MN，在矩形AA₁B₁B中有
A₁B₁AB.
∴MB₁ BN，∴四边形BB₁MN是平行四边形.
∴BB₁  MN.又由BB₁ CC₁，知MN CC₁.
∴四边形MNCC₁是平行四边形.∴C₁MCN.
又C₁M∩AM=M，CN∩NB₁=N，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C.
方法二 由（1）知C₁M⊥平面AA₁B₁B，
A₁B平面AA₁B₁B，∴C₁M⊥A₁B.
又∵A₁B⊥AC₁，而AC₁∩C₁M=C₁，
∴A₁B⊥平面AMC₁.
同理可证，A₁B⊥平面B₁NC.
∴平面AMC₁∥平面B₁NC.
(4) 方法一 由（2）知A₁B⊥AM，
又由已知A₁B⊥AC₁，AM∩AC₁=A，
∴A₁B⊥平面AMC₁.
又∵平面AMC₁∥平面NB₁C，
∴A₁B⊥平面NB₁C.
又B₁C平面NB₁C，∴A₁B⊥B₁C.
∴A₁B与B₁C所成的角为90°.
方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，又CA=CB=C₁A₁，N为AB的中点，
∴CN⊥AB.
∴CN⊥平面AA₁B₁B.
∴CB₁在侧面AA₁B₁B上的射影是NB₁.
又由（2）知A₁B⊥AM，由（3）知B₁N∥AM，
∴A₁B⊥B₁N，CN⊥A₁B，
∴A₁B⊥平面B₁NC，又B₁C平面B₁NC，∴A₁B⊥B₁C.
∴A₁B与B₁C所成的角为90°.