Question

在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足

PA

+

xPB

+y

PC

=

0

，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3，则λ₂•λ₃取到最大值时，2x+y的值为（　　）

• A．-1
• B．1
• C．-

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到S₁=

1

2

S=S₂+S₃．由此结合基本不等式求最值，得到当λ₂•λ₃取最大值时点P在EF的中点．再由向量的加法的四边形法则，算出2

PA

+

PB

+

PC

=

0

，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出2x+y的值．

解答：解：由题意，可得
∵EF是△ABC的中位线，
∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S₁=

1

2

S=S₂+S₃
由此可得λ₂•λ₃=

S2S3

S2

≤

( S2+S3 2 )

S2

=

1

16

当且仅当S₂=S₃时，即P为EF的中点时，等号成立．
∴

PE

+

PF

=

0

由向量的加法的四边形法则可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

∴两式相加，得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

∵由已知得

PA

+

xPB

+y

PC

=

0

∴根据平面向量基本定理，得x=y=

1

2

，从而得到2x+y=

3

2

综上所述，可得当λ₂•λ₃取到最大值时，2x+y的值为

3

2

故选：D

点评：本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比λ₂、λ₃的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题．