Question

（2012•钟祥市模拟）在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若

BE

CF

＜t恒成立，则t的最小值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  7

  8

• C．1
• D．

  5

  4

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，方法为：由AB与AC的关系，用AB表示出AC，由E、F分别为AC、AB的中点，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE²，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE与CF的平方比，开方并分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，观察表示出的比值发现当cosA的值最小时，比值最大，故当A趋于π时，cosA趋于-1，此时比值最大，求出此时的最大值，即可得到t的取值范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=

3

2

AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=

1

2

AC，AF=

1

2

AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（

3

4

AB）²-2AB•

3

4

AB•cosA=

25

16

AB²-

3

2

AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（

1

2

AB）²+（

3

2

AB）²-2•

1

2

AB•

3

2

AB•cosA=

5

2

AB²-

3

2

AB²cosA，
∴

BE2

CF2

=

25 16 AB2- 3 2 AB2cosA

5 2 AB2- 3 2 AB2cosA

=

25 16 - 3 2 cosA

5 2 - 3 2 cosA

，
∴

BE

CF

=

25 16 - 3 2 cosA 5 2 - 3 2 cosA

=

1- 15 40-24cosA

，
∵当cosA取最小值时，

BE

CF

比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时

BE

CF

达到最大值，最大值为

1- 15 40+24

=

7

8

，
则

BE

CF

＜t恒成立，t的最小值为

7

8

．
故选B

点评：此题考查了余弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．