Question

在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为EF上任意一点，实数x，y满足

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2记

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，则λ1•λ2取得最大值时，2x+3y的值为（　　）

• A．-

  5

  2

• B．

  5

  2

• C．-

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到S_△PBC=

1

2

S═S₂+S₃．由此结合基本不等式求最值，得到当λ₂•λ₃取最大值时点P在EF的中点．再由向量的加法的四边形法则加以计算，可得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

，结合已知条件的等式求出x、y的值，即可算出2x+3y的值．

解答：解：根据题意题意，可得
∵EF是△ABC的中位线，
∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S_△PBC=

1

2

S=S₂+S₃
由此可得λ₂•λ₃=

S2S3

S2

≤

( S2+S3 2 )2

S2

=

1

16

当且仅当S₂=S₃时，即P为EF的中点时，等号成立．
∴当λ₂•λ₃取得最大值时，

PE

+

PF

=

O

．
向量的加法的四边形法则可得，

PA

+

PB

=2

PE

且

PA

+

PC

=2

PF

，
∴两式相加，得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

．
∵由已知得

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，∴根据平面向量基本定理，得x=y=

1

2

，
因此得到2x+3y=

5

2

，即为λ₂•λ₃取得最大值时，2x+3y的值．
综上所述，可得当λ₂•λ₃取到最大值时，2x+y的值为

5

2

故选：B

点评：本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比λ₂、λ₃的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题．