Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

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，则下列结论中错误的是（　　）

A、AC⊥BE

B、EF∥平面ABCD

C、三棱锥A-BEF的体积为定值

D、异面直线AE，BF所成的角为定值

Answer 1

分析：利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；
根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；
根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；
例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．

解答：解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B₁D₁DB，BE?平面B₁D₁DB，∴AC⊥BE，故A正确；
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF=

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，∴△BEF的面积为定值

1

2

×EF×1=

2

4

，又AC⊥平面BDD₁B₁，∴AO为棱锥A-BEF的高，∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D₁重合时sinα=

1

2

，α=30°；当F与B₁重合时tanα=

2

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，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选D．

点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．