Question

4．已知函数f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x（m＞0，且m≠1）．
（1）是否存在实数k，使得函数f（x）是奇函数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数k，使得函数f（x）是偶函数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）存在实数k=-1，使得函数f（x）是奇函数，根据奇函数的定义，可证得结论；
（2）存在实数k=1，使得函数f（x）是偶函数，根据偶函数的定义，可证得结论；

解答 解：（1）存在实数k=-1，使得函数f（x）是奇函数，理由如下：
若函数f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x为奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即m^-x+k（$\frac{1}{m}$）^-x=km^x+（$\frac{1}{m}$）^x=-[m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x]，
即（k+1）[m^x+（$\frac{1}{m}$）^x]=0，
解得：k=-1；
（2）存在实数k=1，使得函数f（x）是偶函数，理由如下：
若函数f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即m^-x+k（$\frac{1}{m}$）^-x=km^x+（$\frac{1}{m}$）^x=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x，
即（k-1）[m^x+（$\frac{1}{m}$）^x]=0，
解得：k=1；

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，熟练掌握并正确理解函数奇偶性的定义，是解答的关键．