Question

已知映射f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中没有原象，则k的取值范围是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：由题意可得，k在函数y=lnx+

1

x

的值域的补集中，利用导数可得函数的单调性，进而求出函数的值域，则值域的补集即为所求．

解答：解：∵f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中没有原象，
k在函数y=lnx+

1

x

的值域的补集中，下面求函数y=lnx+

1

x

的值域．
函数的导数y′=

1

x

-

1

x2

，令y′=0，x=1．
在（0，1）上，y′＜0，函数单调递减，在（1，+∞）上，y′＞0，函数单调递增，故x=1时，函数有最小值为1，
∴函数的值域为[1，+∞）．
∴值域的补集为 （-∞，1]，故k的取值范围是（-∞，1]．
故答案为（-∞，1]．

点评：本题主要考查映射的定义，求出函数y=lnx+

1

x

的值域，是解题的关键，属于基础题．