Question

8．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得F（$\frac{p}{2}$，0），设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），要求k_OM的最大值，设y₀＞0，运用向量的加减运算可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}$+$\frac{p}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．

解答 解：由题意可得F（$\frac{p}{2}$，0），设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），
显然当y₀＜0，k_OM＜0；当y₀＞0，k_OM＞0．
要求k_OM的最大值，设y₀＞0，
则$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OF}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}$+$\frac{p}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
可得k_OM=$\frac{\frac{{y}_{0}}{3}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}+\frac{p}{3}}$=$\frac{2}{\frac{{y}_{0}}{p}+\frac{2p}{{y}_{0}}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{y}_{0}}{p}•\frac{2p}{{y}_{0}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当y₀²=2p²，取得等号．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．