Question

19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是$\frac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率是$\frac{2}{3}$；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．

解答 解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P=${C}_{2}^{1}•\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{2}{3}）^{2}$+${{（\frac{3}{4}）}^{2}•C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）$+${（\frac{3}{4}）}^{2}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{3}$，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=${（1-\frac{3}{4}）}^{2}•{（1-\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{144}$，
P（X=1）=2×[${\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）}^{\;}•{（1-\frac{2}{3}）}^{2}$+${（1-\frac{3}{4}）}^{2}•\frac{2}{3}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$]=$\frac{10}{144}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$+$\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}$+$（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}•\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$+$（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}$=$\frac{25}{144}$，
P（X=3）=2×$\frac{3}{4}•{\frac{2}{3}}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$=$\frac{12}{144}$，
P（X=4）=2×[${\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）}^{\;}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$+${\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•{（\frac{3}{4}）}^{2}$]=$\frac{60}{144}$
P（X=6）=${{（\frac{3}{4}）}^{\;}}^{2}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{36}{144}$
故X的分布列如下图所示：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{144}$	$\frac{10}{144}$	$\frac{25}{144}$	$\frac{12}{144}$	$\frac{60}{144}$	$\frac{36}{144}$

∴数学期望EX=0×$\frac{1}{144}$+1×$\frac{10}{144}$+2×$\frac{25}{144}$+3×$\frac{12}{144}$+4×$\frac{60}{144}$+6×$\frac{36}{144}$=$\frac{552}{144}$=$\frac{23}{6}$

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．