Question

4．（1）求7C${\;}_{6}^{3}$-4C${\;}_{7}^{4}$的值；
（2）设m，n∈N^*，n≥m，求证：（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知直接利用组合公式能求出7${C}_{6}^{3}-4{C}_{7}^{4}$的值．
（2）对任意m∈N^*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

解答 解：（1）7${C}_{6}^{3}-4{C}_{7}^{4}$
=$7×\frac{6×5×4}{3×2×1}$-4×$\frac{7×6×5×4}{4×3×2×1}$
=7×20-4×35=0．
证明：（2）对任意m∈N^*，
①当n=m时，左边=（m+1）${C}_{m}^{m}$=m+1，
右边=（m+1）${C}_{m+2}^{m+2}$=m+1，等式成立．
②假设n=k（k≥m）时命题成立，
即（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+k${C}_{k-1}^{m}$+（k+1）${C}_{k}^{m}$=（m+1）${C}_{k+2}^{m+2}$，
当n=k+1时，
左边=（m+1）${C}_{m}^{m}$+（m+2）${C}_{m+1}^{m}$+（m+3）${C}_{m+2}^{m}$+$…+k{C}_{k-1}^{m}$+（k+1）${C}_{k}^{m}$+（k+2）${C}_{k+1}^{m}$
=$（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}+（k+2）{C}_{k+1}^{m}$，
右边=$（m+1）{C}_{k+3}^{m+2}$
∵$（m+1）{C}_{k+3}^{m+2}-（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}$
=（m+1）[$\frac{（k+3）!}{（m+2）!（k-m+1）!}$-$\frac{（k+2）!}{（m+2）!（k-m）!}$]
=（m+1）×$\frac{（k+2）!}{（m+2）!（k-m+1）!}$[k+3-（k-m+1）]
=（k+2）$\frac{（k+1）!}{m!（k-m+1）!}$
=（k+2）${C}_{k+1}^{m}$，
∴$（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}+（k+2）{C}_{k+1}^{m}$=（m+1）${C}_{k+3}^{m+2}$，
∴左边=右边，
∴n=k+1时，命题也成立，
∴m，n∈N^*，n≥m，（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

点评 本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．