Question

15．已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=2，结合{a_n}是公差为3的等差数列，可得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得：数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，进而可得：{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
当n=1时，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-3^-n）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．