Question

14．如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=$\frac{1}{2}$CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S_{四边形BCGF}=2S_△BCG，据此解答．

解答 （Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴$\frac{DF}{ED}$=$\frac{CF}{CD}$，
∵DE=DG，CD=BC，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{BC}$，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△DFC中，GF=$\frac{1}{2}$CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S_{四边形BCGF}=2S_△BCG=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．