Question

15．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数f'（x）=-3x²+2ax+b，通过函数的单调区间，判断极小值点，求出b即可．
（Ⅱ）通过函数f（x）的零点，得到c=a-1，通过导函数的零点以及函数的单调性求解c范围．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f（x）=-x³+ax²+bx+c
所以f′（x）=-3x²+2ax+b…（2分）
因为f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
所以当x=0时，f（x）取到极小值，
即f′（0）=0…（4分）
所以b=0…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=-x³+ax²+c
因为1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0
所以c=a-1…（7分）
因为f′（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，${x_2}=\frac{2a}{3}$…（8分）
又f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
所以${x_2}=\frac{2a}{3}＞1$，即$a＞\frac{3}{2}$．…（10分）
所以$c=a-1＞\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的应用，考查计算能力．