练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$．
    （I）求函数f（x）的单调递增区间；
    （II）设A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围；
    （III）若已知cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值．

    分析 （I）由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再把已知点的坐标代入求得φ，从而得到函数f（x）解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
    （II）当x∈A，求得f（x）∈[1，2]，再根据A⊆B，可得 $\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，从而求得m的范围．
    （III）化简条件求得 cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα的值，再化简要求的式子，把这两个值代入，可得要求式子的值．

    解答 解：（I）由题意可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，求得ω=2．再把点（$\frac{5π}{12}$，2）代入函数f（x）=2sin（2x+φ），
    可得sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，故2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z．
    再结合，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
    令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
    故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z．
    （II）∵A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}={x|m-1≤f（x）≤m+1}，
    而当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即f（x）∈[1，2]，
    根据A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，∴1≤m≤2．
    （III）∵cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=cosα+sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα=-$\frac{5}{18}$．
    ∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{\sqrt{2}•cosα（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α-\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α）+cosα}{cosα+sinα}$=$\frac{cosα（sin2α-cos2α+1）}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$•cosα（2sinαcosα+2sin2α）
    =3sinαcosα（cosα+sinα）=3×（-$\frac{5}{18}$）×$\frac{2}{3}$=-$\frac{5}{9}$．

    点评 本题主要考查正弦函数单调性、周期性、定义域和值域，三角恒等变换，集合间的不含关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    20．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
    （1）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y-x≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
    （2）求证：$（1+\frac{2}{2×3}）（1+\frac{4}{3×5}）…[1+\frac{2^n}{{（{2^{n-1}}+1）（{2^n}+1）}}]＜e$，（其中n∈N*，e是自然对数的底）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    1．已知x∈R，若“4-2a≤x≤a+3”是“x2-4x-12≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a＞3．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    18．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
    （1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
    （2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    15．已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
    （1）求b的值；
    （2）求c的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    2．下列求导运算正确的是（　　）
    A．（x+$\frac{1}{x}$）′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$B．$（\frac{{e}^{x}}{x}）′$=$\frac{{e}^{x}+x{e}^{x}}{{x}^{2}}$
    C．（x2sinx）′=2xcosxD．（log2x）′=$\frac{1}{xln2}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    19．已知随机变量X服从二项分布X～B（6，$\frac{1}{3}$），则P（X=2）等于$\frac{80}{243}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    14．因指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是增函数（大前提），而y=（$\frac{1}{3}$）x是指数函数（小前提），所以y=（$\frac{1}{3}$）x是增函数（结论），上面推理的错误是（　　）
    A．大前提错误导致结论错B．小前提错导致结论错
    C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提都错误导致结论错

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案