Question

【题目】已知：以点C（t， ）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（1）当t=2时，求圆C的方程；
（2）求证：△OAB的面积为定值；
（3）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=2时，圆心为C（2，1），

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；

（2）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣ ）2=t2+ ，

化简得x2﹣2tx+y2﹣ y=0．

当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；

当x=0时，y=0或 ，则B（0， ），

∴S△AOB= OAOB= |2t|| |=4为定值．

（3）解：∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，KMN=﹣2，则直线OC的斜率k= ，

∴t=2或t=﹣2．

∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．

由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，

此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴所求的圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

【解析】（1）当t=2时，圆心为C（2，1），即可得出圆C的方程；（2）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可；（3）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，KMN=﹣2，由直线OC的斜率k= ，求得t的值，可得所求的圆C的方程．