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(本题满分12分)设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交A,B且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。

(1)
(2)存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

解析试题分析:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组,即,
则△=,即

 
要使,需使,即,所以,所以,
所以,所以,即,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为满足,
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系。
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。(2)小题解答中,集合韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性。

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