(本题满分12分)设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交A,B且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。
(1)
(2)存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
解析试题分析:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系。
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。(2)小题解答中,集合韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性。
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(本小题满分12分)
已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
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椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0,点N( 0,3 )到椭圆上的点的最远距离为5
(1)求椭圆C的方程
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,;问A、B两点能否关于过点P、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
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(本小题12分)已知椭圆的离心率为,为椭圆的右焦点,两点在椭圆上,且,定点。
(1)若时,有,求椭圆的方程;
(2)在条件(1)所确定的椭圆下,当动直线斜率为k,且设时,试求关于S的函数表达式f(s)的最大值,以及此时两点所在的直线方程。
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(本小题满分14分)
已知动圆P(圆心为点P)过定点A(1,0),且与直线相切。记动点P的轨迹为C。
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过点P的直线l与曲线C相切,且与直线相交于点Q。试研究:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。
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