Question

13．设总体X～N（μ，σ ²），X₁，X₂，…，X_n是一个样本，$\overline{X}$，S²分别为样本均值和样本方差，试证：E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）

Answer 1

分析 由相互独立事件性质得E[（$\overline{X}$S²）²]=E（${\overline{X}}^{2}$）E[（S²）²]={D（$\overline{X}$）+[E（$\overline{X}$）²}{D（S²）+E[（S²）²]}，由此利用X²分布的性质能证明E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）．

解答 证明：∵$\overline{X}$，S²分别是正态总体N（μ，σ ²）的容量为n的样本均值和样本方差，
∴$\overline{X}$和S²相互独立，∴${\overline{X}}^{2}$与（S²）²也相互独立，
∴E[（$\overline{X}$S²）²]=E（${\overline{X}}^{2}$）E[（S²）²]
={D（$\overline{X}$）+[E（$\overline{X}$）²}{D（S²）+E[（S²）²]}，*
E（$\overline{X}$）=μ，D（$\overline{X}$）=$\frac{{σ}^{2}}{n}$，
由X²分布的性质得：E[$\frac{（n-1）{S}^{2}}{{σ}^{2}}$]=n-1，D[$\frac{（n-1）{S}^{2}}{{σ}^{2}}$]=2（n-1），
∴E（S²）=σ²，D（S²）=$\frac{2{σ}^{2}}{n-1}$，
将这些结果代入（*），得：
E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）．

点评 本题考查正态分布的数学期望的相关公式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意X²分布的性质的合理运用．