Question

3．在△ABC中，∠BAC=135°，BC边上的高为1，则|BC|的最小值为2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理有：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos135°=AB²+AC²+$\sqrt{2}$AB•AC=（AB-AC）²+AB•AC（2+$\sqrt{2}$）
因此：当AB=AC时，BC²有最小值，即BC有最小值，最小值是AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，求出AB，即可得出结论．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理有：
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos135°=AB²+AC²+$\sqrt{2}$AB•AC=（AB-AC）²+AB•AC（2+$\sqrt{2}$）
因此：当AB=AC时，BC²有最小值，即BC有最小值，最小值是AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
所以：此时根据勾股定理有AB²=1+（$\frac{1}{2}$AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$）²
求得：AB=$\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$，
所以：BC=2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．