Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=3+ ．
（1）写出曲线C的一个参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的方程为y=3+ ．

化简可得：（y﹣3）2=﹣x2+8x﹣15，（y≥3，3≤x≤5）

即：x2+y2﹣8x﹣6y+24=0，

可知圆心为（4，3），半径r=1，

曲线C的一个参数方程为： （θ为参数）

（2）解：由（1）可知曲线C圆心为（4，3），半径r=1，（y≥3，3≤x≤5）的半圆．

设一点P的参数坐标为（4+cosθ，3+sinθ）（0≤θ≤π），

过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，

∴|PA|=3+sinθ，|PB|=4+cosθ

∴矩形OAPB的周长l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+ sin（ ）]，（0≤θ≤π）

当θ= 时，周长l最大为14+2 ．

当θ=π时，周长l最小为12．

故得矩形OAPB的周长的取值范围是[12， ]

【解析】（1）采用平方法，化简曲线C，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得曲线C的一个参数方程；（2）由（1）可知曲线C，曲线C上取一点P的参数坐标，利用三角函数的有界限求解矩形OAPB的周长的取值范围