Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形．AB⊥AD，CD⊥AD，点E、M为线段BC、AD的中点，F，G分别为线段PA，AE上一点，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）确定点G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）试问：直线CD上是否存在一点Q，使得平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，若存在，求DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在AD上取AN= AD，过N作NG∥DC，交AE于G，连结FG，FN，

∵PF=2FA．可得FA= PA，所以FN∥PD，又NG∥DC，FN∩NG=N，PD∩DC=D，

可得平面FNG∥平面PCD，FG平面FNG，所以FG∥平面PCD

（2）解：作PO⊥AB于O，BA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，在平面ABCD内作AB的垂线为y轴，如图：平面PAB的法向量为： =（0，1，0），

A（1，0，0），Q（λ，2，0），M（1，1，0），P（0，0， ），

则 =（﹣1，﹣1， ）， =（λ﹣1，1，0），

设平面PMQ的法向量为： =（x，y，z），

由 ，可得： ，令x=1，则y=1﹣λ，z= ，

平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，

可得：cos30°= = = ，

解得λ=3或 ．

此时DQ=2在CD的延长线上，或DQ= 在CD线段上．

【解析】（1）在AD上取AN= AD，过N作NG∥DC，交AE于G，连结FG，FN，利用平面与平面平行的判定定理证明平面FNG∥平面PCD，推出FG∥平面PCD．（2）作PO⊥AB于O，BA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，在平面ABCD内作AB的垂线为y轴，求出平面PAB的法向量，平面PMQ的法向量，利用平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，求解得λ推出CD的大小．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．