Question

在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且

AD

=

2

3

AC

+λ

AB

（λ∈R），则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，过点D作DE∥AB，DF∥AC分别交AC，AB于点E，F．由于

AE

AC

=

2

3

，可得

BD

BC

=

BF

BA

=

2

3

，可得AC，λ=

1

3

．即

AD

=

2

3

AC

+

1

3

AB

．再利用数量积的运算性质即可得出．

解答： 解：如图所示，
过点D作DE∥AB，DF∥AC分别交AC，AB于点E，F．
∵

AE

AC

=

2

3

，∴

BD

BC

=

BF

BA

=

2

3

，
∴AF=

1

3

AB，

AB

AC

=

BD

DC

=

2

1

，
∴λ=

1

3

．
∴

AD

=

2

3

AC

+

1

3

AB

．
∵AB=3，可得AC=

3

2

．
∵∠A=60°，
∴

AC

•

AB

=

3

2

×3×cos60°=

9

4

．
∴

AD

2=

4

9

AC

2+

1

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

=3，
∴|

AD

|=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、三角形内角平分线定理、数量积的运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．