Question

设、．
（1）若在上不单调，求的取值范围；
（2）若对一切恒成立，求证：；
（3）若对一切，有，且的最大值为1，求、满足的条件．

Answer 1

（1）
（2）证明见解析。
（3）且

（1）由题意，；
（2）须与同时成立，即，；
（3）因为，依题意，对一切满足的实数，有．
①当有实根时，的实根在区间内，设，所以，即，又，于是，的最大值为，即，从而．故，即，解得．
②当无实根时，，由二次函数性质知，在上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当时，无最大值．于是，存在最大值的充要条件是，即，所以，．又的最大值为，即，从而．由，得，即．所以、满足的条件为且．综上：且