Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），x≥1}\end{array}\right.$若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≥2．

Answer 1

分析 ②分别设h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．

解答 解：设h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），
若在x＜1时，h（x）=2^x-a与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函数h（x）=2^x-a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2-a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x₁=a，x₂=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a＜1，或a≥2
故答案为：$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≥2．

点评 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．