Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右准线为l，若椭圆上存在点M，满足它到点F的距离是其到l的距离的$\frac{3}{2}$倍，则椭圆的离心率的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 通过设M到直线l的距离为d、记右焦点为F′，根据椭圆的第二定义得|MF′|=$\frac{c}{a}$•d，利用椭圆定义可知$\frac{3}{2}$d=2a-$\frac{c}{a}$•d，从而d=$\frac{4{a}^{2}}{3a+2c}$，利用|MF|∈（a-c，a+c），进而计算即得结论．

解答 解：设M到直线l的距离为d，记右焦点为F′，
根据椭圆的第二定义得$\frac{|MF′|}{d}$=e=$\frac{c}{a}$，
∵|MF|+|MF′|=2a，
∴|MF|=2a-|MF′|=2a-$\frac{c}{a}$•d，
又∵|MF|=$\frac{3}{2}$d，
∴$\frac{3}{2}$d=2a-$\frac{c}{a}$•d，即d=$\frac{4{a}^{2}}{3a+2c}$，
∴$\frac{3}{2}$d=$\frac{6{a}^{2}}{3a+2c}$，
又∵|MF|∈（a-c，a+c），
∴a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+2c}$≤a+c，
整理得：2$（\frac{c}{a}）^{2}$+$\frac{c}{a}$+3≥0，且2$（\frac{c}{a}）^{2}$+5$\frac{c}{a}$-3≥0，
解得：$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$或$\frac{c}{a}$≤-3（舍），
又∵$\frac{c}{a}$＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{c}{a}$＜1，即椭圆离心率的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1），
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查了椭圆的基本性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．