Question

10．数列{a_n}的通项a_n=n（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$），其前n项和为S_n，则S₃₀为（　　）

• A． 15
• B． 20
• C． 25
• D． 39

Answer 1

分析 通过二倍角公式化简可知a_n=n•$cos\frac{2nπ}{3}$，并项可知a_3k-2+a_3k-1+a_3k=-$\frac{3k-2+3k-1}{2}$+3k，进而计算可知S_3k=$\frac{3}{2}$k，代入计算即得结论．

解答 解：∵cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$=$cos\frac{2nπ}{3}$，
∴a_n=n•$cos\frac{2nπ}{3}$，
∴S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…（a_3k-2+a_3k-1+a_3k）
=（-$\frac{1+2}{2}$+3）+（-$\frac{4+5}{2}$+6）+…+（-$\frac{3k-2+3k-1}{2}$+3k）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$k，
∴S₃₀=$\frac{3}{2}$×$\frac{30}{3}$=15，
故选：A．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，涉及二倍角公式、并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．