Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=,a_n+1=a_n+n-4,b_n=(-1)ⁿ(a_n-3n+21),其中为实数，n为正整数.

（1）证明：对任意实数,数列{a_n}不是等比数列；

（2）证明：当≠-18时，数列{b_n}是等比数列；

（3）设S_n为数列{b_n}的前n项和.是否存在实数,使得对任意正整数n，都有S_n＞-12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在实数,使得对任意正整数n都有S_n＞-12,的取值范围为（-∞，-6）

解析:

（1）证明  假设存在一个实数,使{a_n}是等比数列，则有a=a₁a₃,即=

?²-4+9=²-49=0,矛盾.

所以{a_n}不是等比数列.

（2）证明  因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n+1)+21］

=(-1)ⁿ⁺¹

=-(-1)ⁿ·(a_n-3n+21)=- b_n.

又≠-18，所以b₁=-(+18)≠0.

由上式知b_n≠0,所以=-(n∈N^*).

故当≠-18时，数列{b_n}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.

（3）解  当≠-18时，由（2）得：

b_n=-(+18)·,

于是S_n=-(+18)·.

当=-18时，b_n=0，从而S_n=0，上式成立.

要使对任意正整数n，都有S_n＞12.

即-(+18 )·＞-12

?＜-18.

令f(n)=1-,则

当n为正奇数时，1＜f(n)≤;

当n为正偶数时，≤f(n)＜1,

所以f(n)的最大值为f(1)= .

于是可得＜20-18=-6.

综上所述，存在实数,使得对任意正整数n都有S_n＞-12,的取值范围为（-∞，-6）.