Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，设函数f（x）=

a

•

b

（1）若f（x）=0且x∈（0，π）求x的值；
（2）求函数f（x）取得最大值时，平面向量

a

与

b

的夹角大小．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：平面向量及应用

分析：（1）由向量和三角函数易得f（x）=2sin(x-

π

6

)，令2sin(x-

π

6

)=0，结合x的范围易得；
（2）由三角函数易得x=2kπ+

2π

3

时，f（x）_max=2，此时

a

=(

3

，-1)，

b

=(

3

2

，-

1

2

)，由夹角公式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，
又∵f（x）=0，∴2sin(x-

π

6

)=0，
∴x-

π

6

=kπ(k∈Z)，解得x=kπ+

π

6

(k∈Z)
又∵x∈（0，π），∴当k=0时，x=

π

6

（2）∵f(x)=2sin(x-

π

6

)，
∴当x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=2kπ+

2π

3

时，f（x）_max=2，
此时

a

=(

3

，-1)，

b

=(

3

2

，-

1

2

)
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

2

2×1

=1，
∴当函数f（x）取得最大值时，平面向量

a

与

b

的夹角＜

a

，

b

＞=0为0

点评：本题考查平面向量的数量积和和差角的三角函数，属基础题．