Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，M为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA（O为原点）的面积是△OMB的面积的2倍，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由题意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），由MF⊥FA，可令x=c，代入椭圆方程可得M的坐标，再由三角形的面积公式，可得b=2c，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得结论．

解答 解：由题意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），
由MF⊥FA，可令x=c，代入椭圆方程可得
y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有M（c，±$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由于S_△OMA=2S_△OMB，
即有$\frac{1}{2}$•a•$\frac{{b}^{2}}{a}$=2•$\frac{1}{2}$bc，
化简可得b=2c，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$
=$\frac{c}{\sqrt{5}c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．