Question

15．过抛物线y²=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则△ABC的边长是（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，求出$sinθ=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，利用弦长公式，可得结论．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，
由抛物线定义知：|MN|=$\frac{1}{2}（|A{A_1}|+|B{B_1}|）=\frac{1}{2}|AB|$，
∵|MC|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}|AB|$，∴|MN|=$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴$cos∠CMN=cos（{90°}-θ）=\frac{|MN|}{|MC|}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，即$sinθ=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，
又由抛物线定义知|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，∴|AB|=$\frac{4}{{{{sin}^2}θ}}=12$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．