Question

【题目】设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．

（1）当k≤0时，求的单调区间；

（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；

（3）证明：对任意给定的实数k，存在()，使得在区间(，)上单调递增．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为（0,3），单调递增区间为；（2）；（3）证明见解析。

【解析】

（1）f′（x）=．分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可；

（2）函数f（x）在（1,3）内存在两个极值点，有两个实数根．化为，，因此在内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值即可；

（3）令，得，在上单调递增，进而分析可得结果.

,

（1）当时，对任意的都成立.

所以，当时，；当时，，

所以，的单调递减区间为（0,3），单调递增区间为.

（2）由函数在区间（1,3）上存在两个极值点，得在区间（1,3）上至少有两个解，即在区间（1,3）至少有两个解.

令，，则

所以，当时，；当，，所以在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又，，

所以，，且，即.

此时，存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且当x∈(1,x1)时，，当x∈(x1,x2)时，，当x∈(x2,，3)，，满足条件.

所以k的取值范围为

(3)令，得，当时，，当且仅当时等号成立，

所以，在上单调递增，

所以，当时，，及，

当时，.

设为3和中较大的数，则当时，，

所以对任意给定的实数，存在，式得在区间上单调递增.