【题目】在平面直角坐标系中,、分别为椭圆的左、右焦点.设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点、,焦点到直线的距离为.若直线、、的斜率依次成等差数列,求的取值范围.
【答案】
【解析】
设直线,点,,联立直线和椭圆的方程,得到韦达定理,根据直线、、的斜率依次成等差数列得到,代入得,
求出d=,再求函数d(k)的取值范围得解.
由条件,知点、.
设直线,点,.
则、满足,即
. ①
由于点与不重合,且直线的斜率存在,故、为方程①的两个不同实根.
因此,式①的判别式
. ②
由直线、、的斜率、、依次成等差数列,知
.
假设.则直线的方程为,即经过点,不符合条件.
因此,.
故由方程①及韦达定理知
. ③
由式②、③知
.
反之,当、满足式③及时,直线必不过点(否则,将导致,与式③矛盾).
而此时、满足式②,故直线与椭圆有两个不同的交点、,同时,也保证了、的斜率存在(否则,、中的某一个为,结合,知,与方程①有两个不同的实根矛盾).
又点到的距离为
. ④
注意到,.
令.则.
故式④可改写为
. ⑤
考虑到函数在区间上单调递减,故由式⑤得
.
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【题目】已知函数,且.
(1)若函数在上恒有意义,求的取值范围;
(2)是否存在实数,使函数在区间上为增函数,且最大值为?若存在求出的值,若不存在请说明理由.
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【题目】如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0,双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.
(1)试求双曲线的标准方程;
(2)记双曲线的左、右焦点为F1、F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.
(3)过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N,求|MN|的最大长度.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:
(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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【题目】设函数,其中x>0,k为常数,e为自然对数的底数.
(1)当k≤0时,求的单调区间;
(2)若函数在区间(1,3)上存在两个极值点,求实数k的取值范围;
(3)证明:对任意给定的实数k,存在(),使得在区间(,)上单调递增.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AM⊥平面A1BD,垂足为M,以下四个结论中正确的个数为( )
①AM垂直于平面CB1D1;
②直线AM与BB1所成的角为45°;
③AM的延长线过点C1;
④直线AM与平面A1B1C1D1所成的角为60°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】8个女孩和25个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有__________________种不同的排列方法.(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的).
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【题目】已知两点、,动点满足,记的轨迹为曲线,直线()交曲线于、两点,点在第一象限,轴,垂足为,连结并延长交曲线于点.
(1)求曲线的方程,并说明曲线是什么曲线;
(2)若,求△的面积;
(3)证明:△为直角三角形.
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