Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（　　）

①AM垂直于平面CB1D1；

②直线AM与BB1所成的角为45°；

③AM的延长线过点C1；

④直线AM与平面A1B1C1D1所成的角为60°

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据AM⊥平面A1BD，平面A1BD∥CB1D1，判断AM⊥平面CB1D1；

②建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面BDA1的法向量，求得与的夹角，判断直线AM与BB1所成的角不是45°；

③求出，判断它与平面CB1D1的法向量共线，得出AM的延长线过点C1；

④求出AC1与平面A1B1C1D1所成的角，即为直线AM与平面A1B1C1D1所成的角．

对于①，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，

且平面A1BD∥CB1D1，∴AM⊥平面CB1D1，①正确；

对于②，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A（0，0，1），B（1，0，1），C（1，1，1），D（0，1，1），

A1（0，0，0），∴=（﹣1，1，0），=（1，0，1），

设平面BDA1的法向量为=（x，y，z），

则，即，令x=1，则y=1，z=﹣1，∴=（1，1，﹣1），

=（0，0，1），

∴cos＜，＞==﹣，

∴与的夹角不是45°且不是135°，

又与共线，∴直线AM与BB1所成的角不是45°，②错误；

对于③，=（1，1，﹣1），与平面CB1D1的法向量共线，

∴与共线，即AM的延长线过点C1，③正确；

④与共线，且tan∠AC1A1==，

∴AC1与平面A1B1C1D1所成的角是arctan，

即直线AM与平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④错误；

综上，正确的命题序号是①③，共2个．

故选：B．