试题分析:(1)由已知及向量数量积的坐标运算可求得
的值,从而应用平方关系就可求得(sinθ+cosθ)
2的值,再注意到θ为锐角,知sinθ+cosθ>0,开方即得所求式子的值;(2)由向量平行的坐标条件:
可得
的值,法一:由
(万能公式)得到
的值,同理可得
的值;再利用正弦和角公式将sin(2θ+
)展开即可求得其值;法二:也可由
的值,应用三角函数的定义求得
的值,进而用倍角公式可求得
和
的值,下同法一.
试题解析:(1) 因为a·b=2+sinθcosθ=
,所以sinθcosθ=
.
所以 (sinθ+cosθ)
2=1+2 sinθcosθ=
.
又因为θ为锐角,所以sinθ+cosθ=
.
(2) 解法一 因为a∥b,所以tanθ=2.
所以 sin2θ=2 sinθcosθ=
=
=
,
cos2θ=cos
2θ-sin
2θ=
=
=-
.
所以sin(2θ+
)=
sin2θ+
cos2θ=
×
+
×(-
)=
.
解法二 因为a∥b,所以tanθ=2.所以 sinθ=
,cosθ=
.
因此 sin2θ=2 sinθcosθ=
, cos2θ=cos
2θ-sin
2θ=-
.
所以sin(2θ+
)=
sin2θ+
cos2θ=
×
+
×(-
)=
.