Question

已知过点A（0，1）且方向向量为

a

=(1，k)的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可设直线l的方程为y=kx+1，联立直线方程和圆的方程，根据直线与圆有两个交点，故方程有两个不等的交点，即△＞0，进而可得实数k的取值范围；
（2）设出M，N的坐标，由（1）中方程及韦达定理，结合

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂，可构造关于k的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）直线l过点A（0，1）且方向向量为

a

=(1，k)
∴直线l的方程为y=kx+1
将其代入圆C：（x-2）²+（y-3）²=1得：
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…①
若直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点
则△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0
解得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由①得

x1+x2= 4+4k 1+k2 x1•x2= 7 1+k2

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=

4k(1+k)

1+k2

+8=12
∴k=1

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系，（1）的关键是由直线与圆交点的个数判断联立所得方程有两个不等根，（2）的关键是根据向量数量积构造关于k的方程．