Question

已知函数f（x）=x²-2x+3，f（x）在区间[t，t+1]上最小值记为g（t）．
（1）写出g（t）的函数表达式；
（2）若g（t）≥2m²-3m对t∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，是一个分段函数形式．
（2）若g（t）≥2m²-3m对t∈R都成立，只需若g（t）min≥2m²-3m对t∈R都成立．转化为求g（t）min，一元二次不等式问题．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，对称轴为 x=1，
当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在区间[t，t+1]上最小值为g（t）=f（t+1）=t²+2，
当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（x）在区间[t，t+1]上最小值为g（t）=f（1）=2，
当t≥1时，f（x）在区间[t，t+1]上最小值为g（t）=f（t）=t²-2t+3．
综上可得，f（x）在区间[t，t+1]上最小值g（t）=

t2+2，t≤0 2，0＜t＜1 t2-2t+3，t≥1

．

（2）由（1）知g（t）=

t2+2，t≤0．g(t)≥2 2，0＜t＜1 t2-2t+3，t≥1．g(t)≥2

，g（t）最小值为2．
若g（t）≥2m²-3m对t∈R都成立，只需若g（t）min≥2m²-3m对t∈R都成立．
所以2m²-3m≤2，解得：-

1

2

≤m≤2

点评：本题考查二次函数的性质，函数与不等式．考查分类讨论，转化计算，数形结合的思想．