Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，
（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．

解答：解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，

6

）、B（3，-

6

）．
∴

OA

•

OB

=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0?y₁y₂=-6
又∵x1=

1

2

y12，x2=

1

2

y22，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

4

(y1y2)2+y1y2=3，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，
如果

OA

•

OB

=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（

1

2

，1），
此时

OA

•

OB

=3，
直线AB的方程为：y=

2

3

(x+1)，而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y²=2x上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足

OA

•

OB

=3，可得y₁y₂=-6，
或y₁y₂=2，如果y₁y₂=-6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y₁y₂=2，可证得直线
AB过点（-1，0），而不过点（3，0）．

点评：本题考查了真假命题的证明，但要知道向量点乘运算的知识．