Question

【题目】设函数.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若关于x的方程f（x）＝x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）递增区间是（-2,-1）,（0，+∞），递减区间是.

（2）m＞e2﹣2．（3）2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

【解析】

（1）已知f（x）＝（1+x）2﹣ln（1+x）2求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）＝0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；

（2）由题意当时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；

（3）将原式变形转化得方程g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，结合函数的单调性及图象，得到，从而求出实数a的取值范围．

（1）函数的定义域为．

∵，

由f′（x）＞0，得x＞0或-2<x<-1；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0或x<-2．

∴f（x）的递增区间是（-2,-1）,（0，+∞），递减区间是.

（2）∵由，得x＝0，x＝﹣2（舍去）

由（1）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．

又，f（e﹣1）＝e2﹣2，且．

∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．

故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）＝x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0．

记g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x），

∵，

由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．

∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．

为使方程f（x）＝x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，

只须g（x）＝0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有

∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，

∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．