Question

14．如图所示，已知过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点
（1）若A（x₁，3）到焦点F的距离为4，求抛物线的方程；
（2）若抛物线方程为x²=4y，在A，B两点处的切线相交于点M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义求出p，即可求抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为x²-4kx-4=0，可得根与系数的关系，由x²=4y，可得y′=$\frac{1}{2}$x．可得k_MA•k_MB=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3-（-1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．

解答 解：（1）抛物线x²=2py的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
∵A（x₁，3）到焦点F的距离为4，
∴3+$\frac{p}{2}$=4，
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y；
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入x²=4y，化为x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y，可得y′=$\frac{1}{2}$x．
∴k_MA•k_MB=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，
∴MA⊥MB．
∴△MAB为直角三角形，∴△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．
设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M．
∴x_P=x_M=2，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，2k=2，解得k=1．
y_p=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{2}$=3，
∴圆心P（2，3），又r=|MP|=|3-（-1）|=4，
∴所求的△MAB的外接圆的方程为：（x-2）²+（y-3）²=16．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．