Question

已知函数f₀（x）=

sinx

x

（x＞0），设f_n（x）为f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求2f₁（

π

2

）+

π

2

f₂（

π

2

）的值；
（2）证明：对任意n∈N^*，等式|nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）|=

2

2

都成立．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,导数的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf₀（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，把x=

π

2

代入式子求值；
（2）由（1）得，f₀（x）+xf₁（x）=cosx和2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=

π

4

代入所给的式子求解验证．

解答： 解：（1）∵f₀（x）=

sinx

x

，∴xf₀（x）=sinx，
则两边求导，[xf₀（x）]′=（sinx）′，
∵f_n（x）为f_n-1（x）的导数，n∈N^*，
∴f₀（x）+xf₁（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，
将x=

π

2

代入上式得，2f₁（

π

2

）+

π

2

f₂（

π

2

）=-1，
（2）由（1）得，f₀（x）+xf₁（x）=cosx=sin（x+

π

2

），
恒成立两边再同时求导得，2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx=sin（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f₂（x）+xf₃（x）=-cosx=sin（x+

3π

2

），
同理可得，两边再同时求导得，4f₃（x）+xf₄（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nf_n-1（x）+xf_n（x）=sin（x+

nπ

2

）对任意n∈N^*恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时，f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+

π

2

)成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k∈N^*）时等式成立，即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+

kπ

2

)，
∵[kf_k-1（x）+xf_k（x）]′=kf_k-1′（x）+f_k（x）+xf_k′（x）
=（k+1）f_k（x）+xf_k+1（x）
又[sin(x+

kπ

2

)]′=cos(x+

kπ

2

)•(x+

kπ

2

)′
=cos(x+

kπ

2

)=sin(

π

2

+x+

kπ

2

)=sin[x+

(k+1)π

2

]，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N^*）时．等式(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin[x+

(k+1)π

2

]也成立，
由①②得，nf_n-1（x）+xf_n（x）=sin（x+

nπ

2

）对任意n∈N^*恒成立，
令x=

π

4

代入上式得，nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）=sin（

π

4

+

nπ

2

）=±cos

π

4

=±

2

2

，
所以，对任意n∈N^*，等式|nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）|=

2

2

都成立．

点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．