Question

已知长方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中点0为原点建立如图所示的平面直角坐标系x0y
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆C的标准方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|0P|

|0M|

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可得2c=AB可求c，在长方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC，根据椭圆的定义可得，2a=CA+CB可求a，进而可求b及椭圆的方程
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及点P在椭圆C上可得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]，根据方程的特点，故讨论二次项系数16λ²-9=0，16λ²-9＞0，16λ²-9＜0三种情况讨论，从而可得方程代表的曲线类型

解答：解：（1）由椭圆的定义可得2c=AB=6，c=3
在长方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC=

36+ 49 16

=

25

4

，
∴2a=CA+CB=8，a=4∴b²=a²-c²=7
椭圆的方程为

x2

16

+

y2

7

=1…（5分）
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及点P在椭圆C上可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ2．整理得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]…（8分）
（i）λ=

3

4

时．化简得9y²=112
所以点M的轨迹方程为y=±

4 7

3

(-4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
（ii）λ≠

3

4

时，方程变形为

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，其中x∈[-4，4]
当0＜λ＜

3

4

时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分．
当

3

4

＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆…（13分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的参数a，c，b的值，进而求解椭圆的方程，及二次曲线表示椭圆、双曲线、圆的条件的考查．